よく似た表現ですが意味が異なります。詳しく見ていきましょう。

これは「〜すること」という不定詞がrememberの目的語として使われる形です。
不定詞(to do)はまだ起こっていないことを表すため,主にこれから行うべきことや,忘れずに実行すべき行動について記憶している状態を表します。
【例文】
$\text{I must remember to send that email.}$
そのメールを送るのを忘れずにいなければならない。(覚えておかなければならない。)
これは「doing(動名詞)」がrememberの目的語として使われる形です。
動名詞(doing)はすでに起こったことを表すため,過去に実際に経験したこと,行ったことの記憶や思い出を表します。
【例文】
$\text{I remember sending that email.}$
そのメールを送ったことを覚えている。
remember to doとremember doing
$\text{remember to do}$:~することを覚えておく。忘れずに~する。
$\text{remember doing}$:~したことを覚えている。
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